LateX

Thursday, September 6, 2012

Simple real life application of number theory


Friend of mine recently bought hypotrochoid drawing set. The way it works is you have big (outer) ¬gear (imagine plastic board and hole cut in it in a shape of gear) and smaller (inner) gear placed in it. Example shape you can draw with it is here:


This particular one have exactly 10 squiggles. The gears were used to drew it had 50 (outer) and 35 (inner) teeth.

So I thought that it would be an interesting problem to determine number of squiggles given number of teeth in each gear.

My intuition was that since we are dealing with some sort of cyclic problem and integer numbers we will probably need things like gcd, lcm or something similar. The convention I used is that outer gear has $o$ teeth and inner one has $i$ teeth. I wrote out two examples and tried out different combinations of use of $i$, $o$ and $gcd(i,o)$ and I found out that $o/gcd(i,o)$ works in both cases. I wrote out additional example and it turned out that the formula works for it as well (you have no idea how annoying it is to count teeth on those gears...).

Since I found something that seems to work I tried to prove it. So first and in my opinion nontrivial observation is that each squiggle corresponds to one full turn of inner gear, but if you think about it then indeed one full turn corresponds the the pencil going as for away from outer gear as possible and back to the closest position again. Once this is noted the rest is quite straightforward. For simplicity let's assume that our pencil is inside a hole in one of the teeth. So if we start with our teeth with pencil hole aligned with teeth number $a$ inside outer gear, after $k$ rotations of inner gear we end up at teeth number $ a + ki\ (mod\ o)$ inside outer gear (assuming rotation in positive direction). When we finish drawing our pattern we will end up at exactly the same position that we started at. So we need to find smallest $k>0$ that $a \equiv a +ki\ (mod\ o)$. So in other words smallest k that $o | ki$, but we can notice that we can take away common divisor of $o$ and $i$ from both sides of the bar. After that we have required condition $o/gcd(i,o) | ki/gcd(i,o)$ which is equivalent to $o/gcd(i,o) | k$ (the reason being that after you divide two numbers by their gcd one does not have any factors in common with the other). So $k=o/gcd(i,o)$ which is number of rotations of smaller gear which is number of squiggles!

It may not be terribly cunning, but it is real life application of number theory, which, let's face it, does not happen that often (I do not count cryptography as real life...).

10 comments:

  1. عمليات التنظيف ونقل الاثاث ومكافحة الحشرات والعزل هي عمليات ضرورية جدًا ، وذلك للمحافظة على صحة أطفالنا ووقتنا من الضياع ولكن عملية التنظيف مرهقة للغاية وايضا النقل من مكان لاخر ، ويؤدي ذلك إلى الإهمال في الاهتمام بتلك العمليات مما يترتب عليها الكثير من التعب والأمراض ، لذلك نقدم لكم افضل خدماتنا كما نقدم العديد من الخدمات الاخري مثل
    شركة نقل عفش بالطائف
    شركة تنظيف بالطائف
    شركة تنظيف بالبخار بالطائف
    شركة مكافحة حشرات بالطائف
    شركة عزل اسطح بالطائف
    https://saudi-home.com/

    ReplyDelete
  2. تميزت شركة نقل اثاث بالرياض بامتلاكها عدد كبير ومتنوع من سيارات النقل المجهزة، لجميع أنواع المنقولات المراد نقلها، سواء كنت منقولات كهربائية او نقل اثاث وتقوم شركة نقل اثاث بالرياض بنقل جميع أنواع الأثاث والقيام بعملية نقل اثاث بسهولة كبيرة، كما تقدم شركة نقل اثاث وعفش خدماتها في جميع انحاء المملكة العربية السعودية بنفس الكفاءة والاحتراف .

    ReplyDelete

  3. نحن نعمل علي تقديم شركة نقل اثاث بجدة وتوفير افضل خدمات شركة نقل عفش بجدة واهم شركات نقل العفش بجدة
    شركة نقل عفش بجدة
    نقل العفش بجدة
    نقل عفش بجدة
    نقل اثاث بجدة
    شركة نقل اثاث بجدة
    ارخص شركة نقل اثاث بجدة

    ReplyDelete
  4. افضل شركة كشف تسربات المياه بالرياض https://tinyurl.com/yb5vpka5 تعانى الكثير من الهيئات أو الشركات والمنازل للعديد من المشكلات الخطيرة المتعلقه بالتسربات المائية ؛فالتسربات المائية تسبب العديد من المخاطر الهائله منها انتشار العديد من التصدعات أو التشققات الخطيرة التى تتسبب فى تعرض المنازل للانهيارات الخطيرة ؛بالاضافه الى الارتفاع الهائل فى فواتير المياه. … اقرأ المزيد

    المصدر: افضل شركة كشف تسربات المياه بالرياض
    افضل شركة شفط بيارات بالرياض https://tinyurl.com/y3rr3m78 فريقنا يستخدم بفخر حلول التنظيف السكنية التي هي مسئوليتنا بيئياً , حيث لدينا طرق شفط البيارات صديقة للبيئة .هل ترغب في أن يكون لديك المزيد من وقت الفراغ؟ يمكننا أن نجعل ذلك يحدث!… اقرأ المزيد

    المصدر: شركة شفط بيارات بالرياض

    ReplyDelete
  5. شركه المثاليه تم تصنيفها علي انها من افضل شركات نقل العفش بالدمام والبلاد المحيطه بها والمملكه باكملها حيث يوجد لدينا افضل عماله متميزه ومتمكنه في هذا المجال وافضل السيارات الناقله للعفش حيث يقومون باشياء لا يقدر علي فعلها الفرد العادي حيث نضمن لعملائنا سلامه العفش خلال عمليه النقل ويتغلف العفش باغلفه تضمن له عدم الخدش او المساس بشكله من جميع النواحي وبافضل اسعار ممكنه لعملائنا عليكم فقط بالاتصال بشركه المثاليه شركة المثالية لنقل العفش بالدمام ويوجد ايضا لدي شركه المثاليه قسم خاص بمكافحه الحشرات حيث لا يوجد مكان للحشرات للتعايش بيننا وعلينا ان نتخلص منها بافضل شكل ممكن بحيث لا تعود مجددا ونتميز نحن بامتلاكنا افضل المبيدات الحشريه التي تقضي عليها تماما وبطرق امنه بحيث لا توذي افراد المسكن وبافضل اسعار ممكنه تجدها لدينا عليكم فقط بالاتصال بنا من خلال شركة المثالية لمكافحة الحشرات بالدمام التنظيف هو عمليه روتينيه تحاتجها المنازل بطريقه دوريه ويجب ان تتم بعنايه فائقه وباجهزه ومعدات حديثه كي تمم بافضل طريقه ممكنه وتحتاج الاماكن الكبيره الي عماله كبيره ذات خبره وهذا ما يتوفر لدينا فالفلل والمنازل والاماكن التجاريه دائما تحتاج الي عماله كبيره ذات خبره فائقه وهذا مايتوفر لدينا وعليكم فقط بالاتصال بنا شركة المثالية للتنظيف بالدمام ولدينا ايضا جميع مستلزمات التنظيف التي يحتاجها جميع الاماكن التي تحتاج الي تنظيف بشكل عام وبافضل اسعار ممكنه يصل الي خصم 40%

    ReplyDelete
  6. واحده من افضل الشركات الرائده في نقل الاثاث داخل الرياض والبلاد المحيطه بها بفضل ماتعتمد عليه من معدات وادوات التي تعتمد علي استخدام التكنولوجيا التي تستخدم في نقل العفش والتي تضمن لجميع عملائنا سلامه العفش الذي ينقل من مكان اللي مكان اخر وعليكم ان تودعو اساليب التلقيديه المستخدمه في نقل الاثاث لانها عمليه لايكن علي الفرد العادي ان يقوم بها فقط عليكم الاتصال بشركه الصفراتشركة الصفرات لنقل الاثاث بالرياض وايضا يوجد لدي شركه الصفرات خدمات اخري مثل خدمات تسليك المجاري وشفط البيارات بجميع انواعها التي تسبب الروائح الكريهه ونعمل علي اختفائها بشكل نهائي ونملك افضل معدات واجهزه تعمل علي معالجه انسداد المجاري التي تسبب ازمه في المكان فقط عليكم الاتصال بشركه الصفرات شركة الصفرات لتسليك المجاري بالرياض كما يوجد ايضا لدي شركه الصفرات خدمه عزل الخزانات من ضمن الخدمات التي تقدمها شركه الصفرات لعملائها كما ان شركه الصفرات تعتبر افضل شركه للخدمات المنزليه وعزل ولحام الخزانات في الرياض وجميع مدن الممكله من خلال ما تملكه من معدات واجهزه متخصصه في المجال وافراد ذوي خبره في المجال فقط عليكم الاتصال بشركه الصفرات شركة الصفرات لعزل الخزانات بالرياض كما يوجد ايضا لدي شركه الصفرات خدمه كشف التسريبات لان تعتبر مشكله تسريبات المياه من المشاكل التي لها اضرار بالغه علي المنازل والتي تخل بالمنازل ويوجد لدي شركه الصفرات مجموعه متميزه من المعدات والاجهزه وايضا العماله ذات الخبره في هذا المجال وبافضل اسعار شامله الخصومات عليكم فقط الاتصال بشركه الصفرات شركة الصفرات لكشف التسربات بالرياض اذا كنت ترغب ف الحصول علي اعلي معدل نضافه للمنازل والفلل والتخلص من الاوساخ والرواسب التي تلازم منزله والتخلص من البكتيريا التي تتسبب في انتشار الامراض عليك فقط الاتصال بشركتنا حيث تجد افضل اسعار وافضل خدمه من خلال شركة الصفرات للتنظيف بالرياض شركه الصفرات من افضل الشركات الموجوده في مجال مكافحه الحشرات بشكل خاص وفي مجالات النظافه بشكل عام ولا يوجد في حياتنا مجال للحشرات للتعايش معانا ويجب ان نتخلص منها بافضل طريقه بحيث الا تظهر مجددا ونتميز نحن بافضل اساليب للتخلص من الحشرات من خلال افضل مبيدات وادويه للتخلص منها عليكم فقط بالاتصال بشركه الصفرات شركة الصفرات لمكافحة الحشرات بالرياض شركه الصفرات تتشرف ان تقدم لعملائها افضل خدمات تنظيف وغسيل وتطهير الخزانات بحيث ان تنظفها بافضل طرق للتخلص من الاوساخ الموجوده بداخلها ونقدم لعملائنا افضل الطرق في تنظيف الخزانات والمحافظه علي تدفق المياه بداخلها وعليكم فقط بالاتصال بشركه الصفرات حيث تجدو افضل الاسعار شركة الصفرات لتنظيف الخزانات بالرياض حيث انه يوجد لدينا جميع ادوات واجهزه التنظيف الحديثه ونتشرف باتصالكم بنا في اي وقت لاننا نعمل خلال 24 ساعه

    ReplyDelete